rohmanul hakim : Oktober 2014

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Nilai Mutlak
Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.
untuk $x$ bilangan real didefinisikan $\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &jika & x\geqslant 0\\ -x&jika & x< 0 \end{matrix}\right.$
Contoh:
$\left | 8 \right |=8$ ,
$\left | -8 \right |=8$ ,
$\left | 0 \right |=0$
B. Persamaan Nilai Mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak

$\left | ab \right |=\left | a \right |.\left | b \right |$
$\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}$
$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ , (ketaksamaan segitiga)
$\left | a-b \right |\geqslant \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |$
$\sqrt{x^{2}}=\left | x \right |$
$\left | x \right |^{2}=x^{2}$
$\left | x \right |< a\Leftrightarrow -a< x< a$
$\left | x \right |> a\Leftrightarrow x<-a$ atau $x> a$

Contoh Soal:
1. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $\left | x-3 \right |=2014$
Jawab:

$x-3=2014$ ………………… 1)
$-(x-3)=2014$ ……………. 2)

Dari persamaan (1) diperoleh $x=2014+3=2017$ , dan dari persamaan (2) diperoleh $-x+3=2014 \Rightarrow x=3-2014=-2011$ .
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=-2011$ atau $x=2017$

2. Tunjukkan bahwa $\left | mn \right |=\left | m \right |.\left | n \right |$
Bukti:
$\left | mn \right |=\sqrt{(mn)^{2}}=\sqrt{m^{2}.n^{2}}=\sqrt{m^{2}}.\sqrt{n^{2}}=\left | m \right |.\left | n \right |$
3. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{(x-3)^{2}}=7$
Jawab:
$\sqrt{(x-3)^{2}}=7$ ————————————————— ,masing-masing ruas dikuadratkan
$(x-3)^{2}=49$ $x^{2}-6x+9-49=0$ $x^{2}-6x-40=0$ $(x+4)(x-10)=0$ $x+4=0\:\: \: V\: \: x-10=0$ $x=-4\: \: \: atau\: \: x=10$
4. Gambarkanlah grafik $f(x)=\frac{\left | x \right |}{x}$ untuk $x$ bilangan real!
Jawab :
untuk
$x=0\: \: \Rightarrow f(0)=\frac{\left | 0 \right |}{0}=\frac{0}{0}$ = tak tentu
$x=1\: \: \Rightarrow f(1)=\frac{\left | 1 \right |}{1}=\frac{1}{1}=1$
$x=2\: \: \Rightarrow f(2)=\frac{\left | 2 \right |}{2}=\frac{2}{2}=1$
$x=-1\: \: \Rightarrow f(-1)=\frac{\left | -1 \right |}{-1}=\frac{1}{-1}=-1$
$x=-2\: \: \Rightarrow f(-2)=\frac{\left | -2 \right |}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$
dan seterusnya
Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

C. Pertidaksaan Nilai Mutlak
Untuk $k,\: x,\: y,\:$ bilangan real dan $k>0$ , maka

$\left | x \right |\geqslant 0$
$\left | x+y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |$
$\left | x-y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |$
Jika $x<y$ , maka $x^{2}<y^{2}$
$\left | x \right |\leq k\: \: \Leftrightarrow \: \: -k\leq x\leq k$
$\left | x \right |\geq k\: \: \Leftrightarrow \: x\leq -k\: \, atau\: x\geq k$

Contoh Soal:
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $\left | x-2014 \right |\leq 6$
Jawab:
$\left | x-2014 \right |\leq 6$ $-6\leq x-2014\leq 6\: \: \Leftrightarrow \: \: -6+2014\leq x-2014+2014\leq 6+2014\: \: \Leftrightarrow \: \: 2008\leq x\leq 2020$ $HP=\left \{ x\: |\: 2008\leq x\leq 2020,\: x\: \epsilon \: R\, \right \}$
2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari $\left | 2x-3 \right |\geq 5$
Jawab :

$2x-3\leq -5\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -2\: \Leftrightarrow\: x\leq -1$ , atau
$2x-3\geq 5\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 8\: \Leftrightarrow \: x\geq 4$

Sehingga penyelesaiannya adalah $x\leq -1\: \: atau\: \: x\geq 4$
3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari $\frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |$
Jawab:
$\frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |\geq \frac{2}{1+x}$

$x\leq -\frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x+\frac{2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{definit\:\: positif}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: x< -1$ , atau
$x\geq \frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x-\frac{2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{(x+2)(x-1)}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: -2\leq x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1$

rohmanul hakim

Senin, 27 Oktober 2014

persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak